Samstag, 20. März 2010

Auszahlplan mit Inflationsausgleich

Hab heute eine interessante Frage in meinem Gästebuch gestellt bekommen. Hier nochmal der Text:

Hallo Oliver,
Mich würde interessieren, ob es auch eine Formel für die Fragestellung gibt, welchen jährlichen Rentenbetrag man aus einer Einmalzahlung über x-Jahre erhält, wenn man die Bedingung stellt, dass dieser Rentenbetrag jährlich um y% (Inflation) steigen soll. Fällt Dir dazu etwas ein?


Nun, ich hab mir ein paar Gedanken gemacht, und bin zumindest zu einer Näherung des Problems gekommen. Die Aufgabe an Euch Leser: bitte mal prüfen, ob da so alles korrekt zugeht. Eventuell findet Ihr ja eine bessere, genauere Lösung.

Hier nun meine Überlegungen:

Wie unter "Monatliche Rente/Tilgungsrate" rm ermitteln.
Annahme rm * 12 == "mittel"wert für die jährlichen Zahlungen, d.h. die weiter unten bezeichneten rn und r0 müssten jeweils durch 12 dividiert werden, um auf die monatliche Rate zu kommen.
Nun läuft r bis zur Laufzeit n mit Steigung (1+inf)^(n-1)

rn = Ende
r0 = Anfang
rn = r0 * (1+inf)^(n-1)

Annahme: Die Fläche unter der Kurve muss gleich der Fläche rm * n sein
Nun Beispiel mit rm * 12 = 120, ergibt sich aus Einmalzahlung von 229,50, Verzinsung des Kapitals mit 5% und Laufzeit von 2 Jahren.

rn = r0 * (1+inf)^(n-1)
0) rn                 * n  = rm    * n
1) r0 * (1+inf)^(n-1) * n  = rm    * n
2) r0 * (1+inf)^(n-1)      = rm*12
3) r0                      = rm*12 / (1+inf)^(n-1)
4) r0                      = 120   / (1 + 0,03)^(2-1)
5) r0                      = 120   / 1,03
6) r0                      = 116,50

Aus r0 nun rn berechnen:
rn = r0     * (1+inf)^(n-1)
rn = 116,50 * (1,03) ^ 2
rn = 123,60

Das ganze stellt meiner Meinung nach nur eine Näherung dar, der Fehler wird sich mit steigendem n vergrößern... warum?
Durch die geringeren Entnahmen aus der anfänglichen Einmalzahlung werden zu Beginn der Laufzeit höhere Zinsen erwirtschaftet. Sobald die Rate allerdings rm*12 übersteigt, wird mehr entnommen, das heißt hier fallen die erwirtschafteten Zinsen wieder. Dieses Fallen und Steigen der Zinsen müsste nun in einer Formel integriert werden, neben der reinen Berechnung der Rate, wie oben gezeigt, auch die Entwicklung des Kapitalstands unter Berücksichtigung von Verzinsung und Laufzeit enthält. Eventuell ist hier die Rentenbarwert-Formel weiterzuentwickeln, vielleicht bin ich aber auch auf dem falschen Dampfer. Oder wäre die oben dargestellte Betrachtungsweise sogar 100% korrekt? Es wäre zu überprüfen.

Jedenfalls danke an Werner, der mir diese Frage gestellt hat.
Tja, und für weiterführende Hinweise sind wir, denke ich, beide dankbar!


1 Kommentar:

  1. Hallo Oli,

    Deine Fragestellung ist in der Literatur als
    "ewig wachsende Rente" bzw. "wachsende Annuität" bekannt. Exakte Formeln dazu gibts natürlich auch, google Dir eins und Du wirst fündig werden.

    Viele Grüße aus dem Urlaub!
    Andreas P. aus M.

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